Resumen en español

Consideremos la bola unitaria (Bn, g0), donde n ¿ 3 y g0 es la métrica euclidiana. La bola unitaria Bn con la métrica euclidiana tiene curvatura escalar nula en el interior de la bola y curvatura media constante h0 = 1 sobre la frontera, ¿Bn e Bn ; un problema clásico de la geometría diferencial es la caracterización de las parejas de funciones R y h, con R definida sobre la bola, h definida sobre su frontera, tal que exista una métrica g, conforme a la métrica g0, con curvatura escalar prescrita R sobre la bola, y curvatura media prescrita h sobre ¿Bn. Dadas las funciones R y h, la existencia de tal métrica g es equivalente a la existencia de una función suave u que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales parciales elípticas en el exponente crítico de Sobolev. En este trabajo nos proponemos investigar si el hecho que ¿h/¿r cambie de signo donde h es positiva es también condición suficiente para resolver la existencia de la métrica g. Para tal fin realizaremos estimativos a priori apoyándonos en las ideas mostradas en [3] sobre un problema similar en la esfera.