Resumen en español

Este trabajo está dedicado a estudiar cualitativamente las soluciones de problemas semilineales elípticos sobre dominios que no tienen frontera analítica. Para esto examinamos el conjunto crítico de la solución. Arango y Gómez demuestran que en un dominio anular con frontera analítica, el conjunto de puntos críticos de la solución de un problema elíptico que modela la deflexión de una membrana sujeta en el borde, está formado por un número finito de puntos críticos aislados y un número finito de curvas de Jordan. En esta investigación se generalizará el resultado a dominios anulares con frontera interior poligonal. La herramienta principal para obtener la generalización es el estudio de las líneas nodales asociadas a la solución del problema elíptico. También usamos las líneas nodales para concluir que la solución del problema de contorno 3-dimensional sobre un Toroide y con la condición de Dirichlet nula en la frontera, tiene una única curva crítica y no tiene puntos críticos aislados. Por otra parte, usamos planos móviles para obtener una subregión del dominio sobre la cual la solución al problema de contorno no tiene puntos críticos. Además, al combinar la técnica de los planos móviles y de la transformada Kelvin logramos probar que los vértices interiores de algunos dominios anulares no son puntos de acumulación de puntos críticos.