Resumen en español

En esta tesis se presentan resultados sobre la derivada de Gâteaux y Fréchet de normas y de funciones localmente Lipschitzianas definidas sobre espacios de Banach, mostrando las propiedades de sus conjuntos de diferenciabilidad. En particular, se hace un estudio de un teorema clásico de Phelps [55], presentando entre otros resultados una extensión de este teorema a espacios no separables. En este documento, los temas a tratar no son solo de interés en el estudio intrínseco del análisis funcional, estos también se aplican al estudio de ecuaciones de difusión, ecuaciones elípticas en dimensión infinita, control estocástico y los espacios de Sóbolev (cf. [41] y [33]). La extensión del teorema mencionado no será posible en todo espacio de Banach no separable, ya que en el caso de`1(R) la seminorma lím supn2N jxnj no es Gâteaux diferenciable en ningún punto. En este trabajo se empezará definiendo conceptos y recordando propiedades que hacen parte del marco teórico del Teorema de Phelps. En segundo lugar, se mostrarán los conjuntos de Gâteaux diferenciabilidad de las normas de los espacios separables c0(R),`1(R) y L1(R), exhibiendo además sus conjuntos de medida gaussiana nula. También, se obtendrá un resultado similar al descrito para la seminorma en `1(R), para las normas de los espacios no separables NBV [a; b], L1(R). Además, se demostrará que para la norma de `1(R) el conjunto de Gâteaux diferenciabilidad es de medida gaussiana cero. Posteriormente, se demostrarán varios resultados de la Gâteaux diferenciabilidad de las normas definidas en espacios de Hilbert, luego en normas definidas en espacios de Banach y después sobre la relación de funciones localmente Lipschitz con las normas de los espacios de partida de estas funciones. Finalmente, se probarán algunas extensiones del Teorema de Phelps, empezando con funciones de dominio separable y rango sobre los espacios de Asplund; terminando con funciones con dominio no separable, utilizando límites proyectivos y funciones cilíndricas localmente Lipschitz.