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Publicación Acceso abierto Estudio analítico y numérico de un sistema tipo Benjamin-Ono para ondas internas.(Universidad del Valle, 2021-07-26) Muñoz Grajales, Juan Carlos; Escobar, León Darío; Grupo de investigación Ecuaciones Diferenciales Dispersivas y Teoría de Control.En este proyecto, se estudió con un enfoque numérico un sistema de tipo Benjamin- Ono generalizado (gBO) que describe la propagación de ondas internas que se forman en un fluido estratificado que consta de dos capas con densidades constantes diferentes. Los objetivos específicos que se propusieron son los siguientes: 1.Implementar un esquema numérico de tipo espectral para aproximar la solución del problema de Cauchy asociado al sistema (gBO). 2.Analizar numéricamente el orden de error, y propiedades de los esquemas numéricos propuestos, tales como, la convergencia y la estabilidad. 3.Implementar un esquema numérico para aproximar soluciones de onda viajera (periódicas y no periódicas) para el sistema (gBO).Publicación Acceso abierto Integrales multiplicativas sobre campos no arquimedeanos y punto de Heegner.(Universidad del Valle, 2016-11-09) Bermúdez Tobón, YamidtEste proyecto tiene dos partes, la primera busca demostrar que el algoritmo expuesto para encontrar ecuaciones elípticas desde el parámetro de Tate, funciona en todos los casos. La segunda parte es mejorar el algoritmo presentado para calcular integrales multiplicativas con el fin de calcular el parámetro de Tate con precisión alta.Publicación Acceso abierto Modelamiento matemático de la invasión de Wolbachia en las poblaciones silvestres de mosquitos Aedes aegypti.(Universidad del Valle, 2020-12-18) Vasilieva, Olga; Escobar Lasso, Oscar Eduardo; Grupo de investigación ANOPI - Análisis Numérico, Optimización y Problemas InversosEl biocontrol basado en Wolbachia ha surgido recientemente como un método prometedor para la prevención y el control del dengue y otras enfermedades transmitidas por vectores. Las principales especies de vectores, como las hembras de Aedes aegypti, cuando se infectan deliberadamente con Wolbachia se vuelven mucho menos capaces de infectarse y transmitir el virus a los seres humanos. En este proyecto, hemos propuesto y analizado cualitativamente un modelo bidimensional simplificado de invasión de Wolbachia que describe la interacción y competencia entre los mosquitos Aedes aegypti silvestres e infectados con Wolbachia. Este modelo no solo facilita una mejor visualización de la dinámica de invasión de Wolbachia gracias a su bidimensionalidad, sino que también posee la propiedad notable de monotonía y exhibe el llamado “comportamiento del punto de silla”. Esto último nos ayudó a identificar una variedad invariante (separatriz) que contiene los puntos que acoplan los tamaños de población mínimos viables de insectos silvestres y portadores de Wolbachia y también regulan la supervivencia y extinción de cada población de mosquitos. La identificación del tamaño de la población mínima viable de mosquitos silvestres es un elemento esencial para el diseño de programas exitosos de control biológico con Wolbachia. Por lo anterior, los resultados esperados de este proyecto podrán ayudar a estimar el número de mosquitos portadores de Wolbachia que deben ser liberados dentro de una localidad objetivo con el fin de inducir la eventual eliminación de mosquitos silvestres.Publicación Acceso abierto Construcción numérica de datos iniciales para el problema de valor inicial en relatividad general mediante un método no-elíptico.(Universidad del Valle, 2020-12-28) Escobar Díaz, León Darío; Grupo de investigación Ecuaciones Diferenciales Dispersivas y Teoría de ControlUna de las grandes virtudes de la teoría de la relatividad general radica en que ésta permite describir matemáticamente el comportamiento del espacio y del tiempo, o simplemente del espacio-tiempo, mediante la formulación de un problema de valor inicial. Sin embargo, debido al carácter geométrico de la teoría, encontrar datos iniciales que sirvan como base para un problema de evolución es una tarea bastante compleja matemáticamente. Tradicionalmente, la estrategia para encontrar estos datos iniciales consiste en reducir las ecuaciones que determinan el dato inicial, comúnmente conocidas en la literatura como ecuaciones de restricción o constraints, a un sistema elíptico de ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Si bien este enfoque ha sido exitoso para encontrar datos iniciales de cierto tipo de espacio-tiempos, es bien sabido por parte de la comunidad científica que estos métodos acarrean diversos problemas cuando son utilizados para modelar escenarios más relevantes, como por ejemplo, espacio-tiempos con agujeros negros rotantes. Por lo anterior, en este proyecto de investigación implementamos un nuevo método geométrico, el cual permite encontrar familias de datos iniciales mediante la formulación de los constraints como un sistema hiperbólico de ecuaciones diferenciales parciales no lineales. En particular, en este proyecto nos planteamos como objetivo principal generar numéricamente datos iniciales correspondientes a perturbaciones de un agujero negro rotante en vacío con momento angular pequeño, prestando especial atención a su comportamiento asintótico en regiones lejanas del agujero negro. Para llevar a cabo el objetivo anterior, en este trabajo introdujimos un nuevo método numérico basado en una combinación de un método espectral y un método de elementos finitos (con elemento infinito) para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en dominios no acotados, compuestos por un producto cartesiano entre intervalo no acotado de los números reales y la superficie de la dos-esfera unitaria.Publicación Acceso abierto Calculo Pseudodiferencial y Teoria Espectral.(Universidad del Valle, 2021-02-12) Delgado, Julio Cesar; Grupo de investigación Ecuaciones Diferenciales Parciales y Geometría – EDPGLa investigación sobre el espectro de un operador y sus múltiples propiedades tiene una larga tradición en las matemáticas puras y aplicadas. En este proyecto nos concentramos en propiedades que se derivan del estudio del operador como elemento de un álgebra de operadores adecuada así como del cálculo pseudodiferencial. En particular se establecen fórmulas de Plemelj -Smithies para determinantes de los operadores correspondientes. La relación básica entre la traza , el determinante y los valores propios está dada por la fórmulas de Lidskii y Grothendieck - Lidskii . Los valores propios y la pertenencia a un ideal de operadores se relacionan mediante la desigualdad de Weyl . Como resultado principal hemos obtenido fórmulas para el determinante de Poincaré en términos del símbolo de la ecuación correspondiente. El prototipo de aplicación fue la ecuación diferencial de Hill sobre el toro, para la cual se establecieron propiedades de existencia aplicando el determinante de Poincaré. Estos resultados se lograron aún para ecuaciones más generales en dimensiones superiores usando la noción de cuantización toroidal. En conclusión, la aplicación de una interrelación entre álgebras de operadores, determinantes y operadores pseudodiferenciales permitió establecer buenas propriedades para ecuaciones diferenciales que extienden la ecuación diferencial de Hill a dimensiones superiores. Los métodos empleados claramente son susceptibles de aplicarse a otro tipo de variedades donde se dispone de una buena transformada de Fourier.Publicación Acceso abierto Enfoque de redes complejas y modelamiento metapoblacional para el diseño de políticas de control del dengue en el área metropolitana de Cali.(Universidad del Valle, 2019-02-15) Arias Castro, Juddy Heliana; Martínez Romero, Héctor Jairo; Vasilieva, Olga; Grupo de investigación Análisis Numérico, Optimización y Problemas Inversos - ANOPICon este proyecto, aportamos un mejor conocimiento de la dinámica del dengue, valiéndonos de la modelación matemática donde analizamos cómo la movilidad de las personas (sanas y/o infecciosas) influye en la propagación de esa enfermedad y sus posibles tendencias a mediano y largo plazo y así contribuir al diseño de políticas de control para disminuir su incidencia en Cali y su área metropolitana. Para ello en este estudio, se formularon cinco modelos matemáticos que tienen en cuenta aspectos clínicos y etiológicos del dengue, además de la movilidad de las personas y de la presencia de personas asintomáticas; se determinaron sus puntos de equilibrio y se establecieron condiciones de estabilidad de los mismos. Se estimaron los parámetros asociados a los modelos, haciendo uso de los datos del Sistema de Vigilancia Epidemiológica de la Secretaria Municipal de Salud, estadísticas del DANE e información proporcionada por la literatura.Publicación Acceso abierto Dependencia entre la biomasa y captura: el caso de pequeños peces pelágicos.(2019-10-31) Vasilieva, Olga; Cruz Rivera, Erica; Ramirez Cabrera, HectorLas características biológicas de las especies de peces pelágicos explican por qué las tasas de captura en las pesquerías pelágicas no son proporcionales al tamaño del stock existente y pueden no mostrar variación en su tamaño en los períodos de abundancia y escasez de peces. Por lo tanto, las no linealidades dependientes del stock en la capturabilidad deben reflejarse en el diseño de políticas flexibles de pesca que se dirijan a la explotación sostenible de este importante recurso natural. En este proyecto, tales no linealidades se expresan a través de la eventual variabilidad del parámetro de “captura-biomasa” que mide la sensibilidad de un rendimiento de captura adicional a los cambios marginales respecto al tamaño de la población de peces. Utilizando el marco de modelamiento de control óptimo, establecemos que cada valor del parámetro “captura-biomasa” genera un valor de estado estacionario único de la población de peces y este último engendra una política óptima de pesca que puede sostenerse siempre que dicho parámetro no se altera. También demostramos la dependencia continua de la biomasa en estado estacionario y la política de pesca subyacente sobre el parámetro de “captura-biomasa” mencionado y nos centramos en el análisis de las respuestas de equilibrio a los cambios en este parámetro inducidos por perturbaciones externas.Publicación Acceso abierto Continuación única de la Ecuación de Boussinesq.(2019-10-31) Rivas Triviño, IvonneEstudiar la Ecuación de Boussinesq en diferentes dominios y con diferentes términos no lineales para explorar la propiedad de continuación única del problema, es decir la propagación de la información localizada en un subdominio del dominio de definición del problema, y propiedades afines. La metodología usada fue básicamente estudiar técnicas modernas para analizar la propagación de la información entre ellas análisis microlocal y estimativos de Carleman. De donde se obtuvo un artículo de nivel internacional en el cual se muestra la controlabilidad de la Ecuación de Boussinesq cuando se conoce como actúa la solución en la frontera del dominio y algunos estimativos de Carleman para la Ecuación de BoussinesqPublicación Acceso abierto Análisis de puntos críticos y curvatura en modelos matemáticos para membranas y placas.(2019-10-30) Arango Cabarcas, Jaime Alfonso; Gómez, Adriana; Delgado, Jairo Andrés; Salazar, Andrés Mauricio; Trejos Olmos, Jonathan AugustoEl proyecto es complemento del proyecto de investigación "Análisis cualitativo en modelos para membranas y placas". En este proyecto se pretende continuar con el análisis de la estructura del conjunto de puntos críticos de las soluciones del modelo de deformación de placas (Modelo P) y modelo de deformación de membranas (Modelo M). En particular se pretendían abordar las cuestiones de si los puntos críticos de las soluciones se acumulan en el borde del dominio y de cómo se comporta la curvatura de las curvas de nivel. Investigaciones previas de los investigadores permiten concluir que en el caso de los dominios circulares los puntos críticos no se acumulan para el caso del modelo P y que la curvatura de las curvas de nivel de las soluciones es una función continua hasta el borde del dominio. En el presente proyecto se esperaba poder generalizar estos resultados a otros dominios.Publicación Acceso abierto Análisis cualitativo en modelos para membranas y placas.(2019-10-30) Arango Cabarcas, Jaime Alfonso; Salazar, Andrés; Delgado, Jairo AndrésAlgunos modelos importantes de la teoría de la Elasticidad se plantean en términos de problemas de contorno de ecuaciones diferenciales parciales elípticas que cumplen condiciones de borde. Entre estos modelos se destacan: modelos de deformación de placas (Modelo P), Modelos de deformación de membranas (Modelo M). En líneas generales el objetivo del proyecto es el análisis de las soluciones de los modelos de placas y membranas. Los aspectos a analizar son los siguientes: características del conjunto crítico. El conjunto crítico lo forman puntos en donde el gradiente de la solución de contorno se anula y análisis de la curvatura de nivel de las soluciones cerca de la frontera.Publicación Acceso abierto Estimativos geométricos para el primer valor propio del problema de Steklov.(2018-05-02) Montaño Carreño, Óscar AndrésEstudiar y contribuir a la solución del problema de Steklov, en este sentido se propone encontrar cotas que relacionen el primer valor propio de Steklov con elementos geométricos de la variedad.Publicación Acceso abierto EL problema de Cauchy y soluciones estacionarias para un sistema Schrödinger-Benjamin-Ono.(2018-04-24) Muñoz, Juan Carlos; Pipicano, Felipe; Vargas, Luisa Fernanda; Trullo, José AlejandroEn este proyecto estudiamos desde el punto de vista numérico el problema de Cauchy asociado a un sistema Schrödinger-Benjamin-Ono deducido por Funakoshi y Oikawa para describir el movimiento de dos fluidos con diferentes densidades bajo la acción de las fuerzas de gravedad y capilaridad en un flujo con fondo profundo. En primer lugar, nos proponemos abordar el aspecto numérico a través de esquemas de tipo espectral, los cuales resultan apropiados en este caso, debido a que la transformada de Hilbert aparece en una de las ecuaciones del sistema considerado. Este es un operador integral de tipo no local el cual se simplifica a través de la aplicación de la transformada de Fourier. Se realizará además análisis del error y convergencia de la aproximación semidiscreta del sistema. En segundo lugar, consideramos el problema de aproximar numéricamente soluciones de onda viajera periódicas del sistema, cuya existencia ya ha sido establecida por Angulo et al. En trabajos previos.Publicación Acceso abierto Métricas conformes con curvatura escalar y curvatura media prescritas.(2018-04-23) García Camacho, Gonzalo; Posada Vera, LilianaEl objetivo general del proyecto fue contribuir a la solución del problema fundamental de geometría conocido como el problema de la deformación conforme de métricas en variedades a una métrica con curvatura escalar prescrita k en el caso de variedades sin frontera, o a una métrica con curvatura escalar prescrita k sobre M y curvatura media prescrita h sobre la frontera de M, en el caso de variedades con frontera. Una métrica ĝ es conforme a la métrica g si ĝ= fg donde f es una función suave positiva definida en la variedad M.Publicación Acceso abierto Modelamiento matemático del dengue en Cali.(2016-10-19) Martínez Romero, Héctor Jairo; Vasilieva, OlgaCon este proyecto se pretende aportar un mejor concimiento de la dinámica del dengue, valiéndose de la modelación matemática para analizar la forma de propagación de esta enfermedad y sus posibles tendencias a mediano y largo plazo y así contribuir al diseño de controles para disminuir su incidencia en Cali. Para ello, en este estudio se formulará uno o más modelos matemáticos que tengan en cuenta aspectos clínicos y etiológicos del dengue; se determinarán sus puntos de equilibrio y se establecerán condiociones de estabilidad para los mismos. Se estimarán los parámetros asociados al modelo, haciendo uso de los datos del sistema del sistema de vigilancia epidemiológica de la Secretaría Municipal de Salud, estadísticas del DANE e información proporcionada por la literatura