Examinando por Materia "Números reales"
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Publicación Acceso abierto Un acercamiento coalgebráico a los números reales(Universidad del Valle, 2014) Ramírez Zapata, Andrés Felipe; Ortiz Rico, GuillermoEste trabajo tiene tres partes fundamentales las cuales describiremos a continuación. En la primera parte veremos cómo se pueden definir los conceptos de F-coálgebra y homomorfismo de F-coálgebra desde la perspectiva de la teoría de categorías. En seguida precisamos que por cada endofuntor F en una categoría C podemos obtener una categoria coalg(F); la cual está caracterizada por un morfismo c: X! F(X) llamado estructura coalgebraica. Estaremos interesados solo en el caso en que esta categoría tenga objeto final y a ese objeto final lo llamaremos F-coálgebra final, el cual, nos muestra directamente cómo se comporta cualquier F-coálgebra de esta categoría. Como ejemplo examinaremos como se puede dotar el conjunto de todas las sucesiones infinitas de elementos de un conjunto A con una estructura coalgebraica. En particular, mostraremos que se pueden presentar los números reales en el intervalo [0,1) como una F-coálgebra final según el articulo [16]. En la segunda parte de este trabajo vamos a ver con todo detalle algunos de los resultados del articulo [1], en el cual, los autores logran definir unos endofuntores apropiados en la categoría Set que permiten de manera conveniente dotar algunos subconjuntos de R como el intervalo [0; 1), el espacio de Baire y el conjunto de Cantor, con ciertas estructuras coalgebraicas bastante buenas con las que es posible probar que son F-coálgebra finales. Adicionalmente, gracias a que estas estructuras coalgebraicas son "tan apropiadas ¿se logra por medio de las definiciones adecuadas presentar en forma muy similar estos resultados en la categoría Pos: Aquí nos tomaremos el trabajo de hacer todo esto con detalle, daremos algunas observaciones para obtener los corolarios 1 y 2 los cuales no aparecen en este artículo. Una razón por la cual es más conveniente ver estos resultados en la de la categoría Pos que en la categoría Set es el hecho de que existe una gran relación entre el orden y la topología de estos conjuntos; razón por la cual los autores de [1] deciden dar por hecho que todo lo hecho en Pos se puede pasar de manera sencilla a Top. En la tercera parte de este trabajo logramos pasar estos resultados de la categoría Pos a la categoría Top tomando algunos teoremas adicionales que se encuentran en el artículo [13] y los relacionamos con los teoremas que se tienen ya en Pos: y finalmente condensar estos resultados en los corolarios 3,4 y 5.Publicación Acceso abierto Un acercamiento histórico-epistemológico a los números reales de Schanuel.(2019-09-12) Samboní Verdugo, Uber Alberto; Ortiz Rico, GuillermoEste trabajo de grado presenta la forma como se llevó a cabo una construcción de los números reales que se le atribuye a Stephen Schanuel (1933-2014), la cual parte de los números enteros sin hacer uso explícito de los números racionales a partir de funciones de ℤ en ℤ llamadas cuasi-homomorfismos. La construcción se hizo a partir de un análisis histórico - epistemológico con el objetivo de mostrar a docentes de matemáticas, como puede influir en su formación conocer una construcción alternativa de los números reales. Los apartes técnicos formales se fundamentan esencialmente en (Mejía 2004).Publicación Acceso abierto Los axiomas de la cantidad de Hölder y la fundamentación del continuo lineal.(2011-10-13) Recalde, Luis CornelioEn este artículo se analizan algunas consecuencias derivadas de los planteamientos teóricos del matemático alemán Otto Hölder respecto a las bases conceptuales de las matemáticas. En un periodo en el que se buscaba fundamentar la matemática a través de la teoría de conjuntos, Hölder desarrolla una teoría de las cantidades. Según Hölder los axiomas del continuo, establecidos por Cantor y Dedekind, para conectar el continuo geométrico y el aritmético, se soportaban sobre la noción de cantidad; en este sentido establece un circuito entre el continuo geométrico, el continuo aritmético y los axiomas de la cantidad. Aunque en la actualidad la teoría de conjuntos se considera el vehículo idóneo de fundamentación de las matemáticas, algunas aplicaciones en mediciones en psicología ha encontrado en la teoría de cantidades de Hölder una herramienta matemática importante.Publicación Acceso abierto La coinducción matemática en la construcción de los números reales(2014-10-28) Quintero Pérez, James Adrián; Castiblanco Montañez, Airon StivenEl presente trabajo de grado tiene como objeto de interés ilustrar la manera en que el principio de conducción posibilita una va alternativa para el estudio o construcción de los números reales, lo cual pone de manifestó que las matemáticas como ciencia no son siempre es inductivas. Se estudia a R mediante la dualidad que existe con N por medio de la teoría de categorías, la cual permite observar la estructura de estos objetos y definir a los números naturales como un objeto inicial, y por lo tanto cumple con los principios de inducción y de recursión. Dualmente, los números reales se definen como un objeto final, en consecuencia se establecen los principios de coinducción y de corecursiónPublicación Acceso abierto La construcción de los números reales por Fred Richman y sus aportes para la compresión de los números reales en el contexto de formación de profesores(2014-04-24) Jaramillo Magaña, Iván Darío; Sánchez Villafañe, FabiánEn este trabajo de grado se presentarán los aspectos fundamentales a los que recurrió Fred Richman para la construcción de los números reales (en un artículo publicado en la revista Mathematical Logic Quarterly en el 2008), se esbozará de manera general el camino que realiza Bourbaki en su propuesta estructuralista de la construcción de los números reales. Se reconstruirá la moderna construcción de los números reales realizada por el matemático Fred Richman, el cual sigue el camino de la lógica intuicionista de Brouwer y Heyting, como también, se evidenciará los aportes de Bourbaki en dicha construcción. Al presentar esta construcción, pretendemos dar a los profesores, nuevas perspectivas, no solo para la comprensión de R sino para que tengan herramientas que les permita desarrollar en sus estudiantes un pensamiento matemáticoPublicación Acceso abierto Construcción de los números reales: completación de la estructura topológica(2014-01-13) Patiño Muñoz, Viviana AndreaNosotros presentamos una reconstrucción detallada de la estructura de los números reales al estilo de Cantor con sucesiones de Cauchy. En esta reconstrucción seguimos los lineamientos del texto Lattices and Ordered Algebraic Structures de Thomas Blyth (2005) que centra su presentación colocando las estructuras algebraicas y de orden al mismo nivel; lo que contrasta con las habituales presentaciones que se centran solamente en la estructura algebraica. Sin embargo es notoria la no inclusión de la estructura topológica. En contraste comentamos en forma muy general, no detallada, la construcción de los números reales de Bourbaki a fin de exhibir la relevancia e importancia de la estructura topológica. Esperamos que este trabajo aporte a la reflexión y aprendizaje de los números reales que habitualmente son presentados en una forma axiomática que se centra principalmente en la estructura algebraica, algo de la de orden, pero la topológica queda en cierto grado oculta en un axioma de completitud. En este sentido nuestro trabajo, centrado en los números reales, constituye un llamado a un mayor acercamiento a las estructuras topológicas en la formación de futuros licenciados. Este llamado tiene su sustento en que estas estructuras intervienen en las matemáticas básicas universitarias a través de conceptos como densidad, convergencia y continuidadPublicación Acceso abierto La definición V.5 de los elementos de Euclides en la génesis de los reales : las construcciones de Dedekind y Schanuel.(Universidad del Valle, 2021) Ñañez Valdéz, Yesika Viviana; Anacona, Maribel PatriciaLos números reales no solo constituyen un tema esencial en la historia de las matemáticas, sino que siguen siendo objeto de estudio de diversas investigaciones que tienen como propósito analizar diversas construcciones con el fin de identificar aspectos sustanciales que incidan en una mejor comprensión de sus propiedades. En virtud de ello, se presenta un estudio de las construcciones de los números reales por Dedekind (1872) y por Schanuel (1985), las cuales tienen en su génesis la definición V.5 de los Elementos de Euclides. Por tanto, este trabajo de tesis está enfocado en identificar aquellos elementos teóricos que permiten vincular la definición V.5 de Euclides con los reales de Dedekind y de Schanuel y que pueden favorecer la comprensión de este conjunto con sus propiedades de cuerpo, totalmente ordenado y completo.Publicación Acceso abierto El papel histórico de la representación decimal en el proceso de formalización de los números reales.(Universidad del Valle, 2022) Iquinás Volverás, Hilda Tatiana; Recalde, LuisEn este trabajo de grado se desarrolla un análisis historiográfico en el que se muestra el papel determinante de los sistemas de representación en la evolución histórica del concepto de número; en particular, se muestra la potencia del sistema de representación decimal indo arábigo, el cual captura diferentes aspectos de los sistemas numéricos desarrollados en las antiguas civilizaciones; en particular, se establecen algoritmos operativos que permiten el reconocimiento de algunas cantidades como números, tales como las fracciones y las raíces. La investigación hace énfasis en la construcción de los números reales de Georg Cantor, quien fundamenta su teoría por medio de las sucesiones fundamentales de números racionales. En la noción de sucesión fundamental se puede reconocer el procedimiento algorítmico para aproximar a un número irracional por medio de su representación decimal, lo que permite incorporar a los números reales por medio de sucesiones fundamentales. Esto se evidencia muy bien en el hecho de que, a partir de la incorporación axiomática de los números reales, se puede demostrar que todo número real tiene una representación decimal finita o periódica para los racionales, e infinita para los irracionales.Publicación Acceso abierto Un estudio sobre los números reales de Bachmann desde el análisis intervalar y su aporte a la formación de profesores de matemáticas.(Universidad del Valle, 2019) Peña Soto, Harvy Santiago; Ortiz Rico, GuillermoEl presente trabajo de grado, realizado como requisito parcial para optar al título de Licenciado en Matemáticas y Física, tiene como punto de salida una insuficiencia presentada por Paul Bachmann (1892) sobre el conjunto de los números racionales, para solucionar determinadas tareas aritméticas. Este aspecto, se ve reflejado en el trabajo con cierto tipo de ecuaciones cuadráticas que no tienen solución en tal conjunto numérico. El trabajo de Bachmann no solamente se restringe a mostrar tales carencias, sino que el autor busca precisar una definición del número real, a través de un sistema aritmético conformado por intervalos encajados. Es por ello, que nuestro objetivo principal es abordar la significación que le atribuye a tal concepto, desde una perspectiva histórico ¿ epistemológica, con el fin de realizar una reconstrucción que acerque a los educandos y docentes en ejercicio de matemáticas en educación media, a la naturaleza del número real, y resalte la importancia de la historia de las matemáticas como fundamento disciplinar en su quehacer académico. Para ello, utilizamos el análisis intervalar, teoría desarrollada por Moore (1966), como un puente para realizar esa reconstrucción, y analizar desde un paradigma descriptivo, cómo el concepto de número real involucra las nociones de límite, convergencia y continuidad; donde por medio de la especificación de ciertos parámetros, podemos visualizar geométricamente en un plano racional, cómo se comportan las clases de sucesiones de intervalos encajados de la recta real. Y de esta manera, generar determinadas curvas por medio de esas clases, que nos permitan acercarnos tanto como se desee a un punto real en el plano racional, las cuales, no deben ser necesariamente regulares en su comportamiento; sino que conforman infinitas formas de aproximación. Para esto, mostraremos que las rectas, son una gran opción para representar los números reales bajo esta teoría. Este trabajo fue realizado gracias a una profundización en el enfoque didáctico que utiliza Bachmann, por medio de una traducción libre que realicé de su obra en alemán, que me permitió ver cómo relaciona conceptos que modernamente ya conocemos, y mostrar que realmente su idea no verifica al número real como objeto matemático. Aspecto que es realmente fructífero para este estudio.Publicación Acceso abierto Intuiciones, visualizaciones y formalizaciones en el desarrollo histórico-epistemológico de los números irracionales.(Universidad del Valle, 2018) Pineda Pérez, Diana Carolina; Ñañez Valdez, Yesika Viviana; Recalde Caicedo, Luis CornelioEn este trabajo de grado se hace un análisis epistemológico del desarrollo histórico de los números reales a través de tres etapas fundamentales: la etapa de intuición, la etapa de visualización y la etapa de formalización. Se hace especial énfasis en los números irracionales, detallando su desarrollo, desde sus raíces primigenias, en la antigüedad griega, hasta la formalización de los números reales en el siglo XIX. Este trabajo se centra en identificar cada una de estas etapas, tratando de identificar la manera en que los matemáticos intuyeron, visualizaron y formalizaron los procesos algorítmicos involucrados en el proceso de formalización de los números reales. Al final se hace una reflexión sobre la manera en que un estudio histórico, como el presente, puede servir como guía en el diseño de situaciones didácticas contrastando la filogénesis y la ontogénesis.Publicación Acceso abierto Los números reales como conjuntos de intervalos, ventajas y limitaciones de su consideración en la educación media.(2017-11-20) García Moreno, Adriana; Ortiz Rico, GuillermoLa propuesta presentada para optar al título de Magíster en Educación, Énfasis en Educación Matemática, Modalidad Profundización; parte de la problemática asociada a la representación y aproximación a las propiedades de los números reales en la educación media y propone alternativas para que estas no estén alejadas o desarticuladas de las presentaciones formales propuestas en la Educación Superior. En este orden, se abordan algunos referentes teóricos desde el punto de vista histórico y matemático, para diseñar una serie de actividades cuyo propósito es lograr que los estudiantes adquieran intuiciones que se aproximen a los desarrollos matemáticos formales, como la construcción de Bachmann, quien define a los números reales como límites de sucesiones de intervalos encajonados y otras como las de Cantor y Weiss. Sin embargo, estas propuestas formales no se pueden presentar a estudiantes de educación media tal y como están, por todo el entramado teórico que suponen y que un estudiante de educación media no conoce. Es allí donde cobra importancia para este trabajo el análisis intervalar, ciencia de la computación a partir de la propuesta de Moore, quien se ha preocupado por ofrecer una alternativa de representación de los números reales a partir de intervalos encajonados de números racionales y que por su amplio campo de aplicaciones se convierte en una alternativa importante para la representación y tratamiento de las operaciones de números reales, más accesible a los estudiantes de educación media, al tiempo que no se alejan de las construcciones formales.Publicación Acceso abierto Los números reales de Weiss : un análisis histórico-epistemológico de su construcción con fines educativos en la formación docente.(2019-09-10) Marín Guevara, John Eyder; Perea Sáenz, Luis Fernando; Anacona, Maribel PatriciaLos números reales constituyen un tema crucial no sólo para el desarrollo histórico de las matemáticas, sino que siguen siendo un importante objeto de estudio en el ámbito educativo. La propiedad topológica de la completitud resulta de difícil comprensión para los estudiantes de los primeros años de Universidad. Por tanto, los estudios e indagaciones que se hagan con el propósito de tener una mejor aproximación a este concepto tienen plena vigencia en la actualidad. En virtud de lo anterior, nos proponemos hacer un estudio detallado de la construcción de los números reales por Weiss (2016), con el propósito de identificar las ventajas y limitaciones que ofrece en relación con la comprensión de la propiedad de completitud. Para tal efecto, se estudia en primera instancia, las técnicas, métodos y conceptos empleados previamente por Cantor (1872), Bachmann (1892) y Bourbaki (1942) para la construcción de los reales, como marco teórico de referenciaPublicación Acceso abierto Los números reales en Cantor y Bourbaki : un estudio comparativo con fines educativos(2024) Herrera Viáfara, Nayby Yasury; Anacona, MaribelEn este trabajo de grado se estudian dos construcciones del conjunto de los números reales con el objetivo principal de analizar las ventajas y limitaciones de estas en la formación de los profesores de matemáticas. La primera realizada por Cantor mediante sucesiones de Cauchy en 1872 y la segunda propuesta por Bourbaki en 1940 mediante filtros minimales de Cauchy. En vista de que la construcción rigurosa de los números reales es un tema relevante en el Análisis Matemático, comprender la convergencia y la completitud proporcionan una visión general de los conceptos y técnicas fundamentales que han contribuido al desarrollo de las matemáticas a partir de los estudios históricos y epistemológicos.Publicación Acceso abierto Los números reales por Bourbaki y por Choquet: un estudio comparativo de las construcciones con fines educativos [recurso electrónico](2012) Sánchez Valencia, Danny JavierEn este trabajo se estudian las construcciones de los números reales realizadas por Bourbaki en los Élément de Mathématique y por Gustave Choquet en su Cours de Calcul Differentiel et Integral ofrecido en la Sobornne en 1955. Como es sabido en las construcciones más conocidas de R, se parte de Q como cuerpo ordenado y se completa con el axioma de continuidad, para llenar las ¿lagunas¿ algebraicas y topológicas. Bourbaki y Choquet escogen otro camino. Ambos parten de Q como grupo aditivo totalmente ordenado, de manera inmediata introducen una topología sobre Q compatible con la estructura de grupo, posteriormente completan el grupo topológico y finalmente hacen la extensión algebraica de grupo a cuerpo. En estas construcciones se realza precisamente aquello que se esconde en las exposiciones axiomáticas más frecuentes: el ingreso de la topología. Una de las conclusiones más interesantes del trabajo es la recomendación de considerar el estudio de estas dos construcciones en los cursos de matemática y Análisis de las carreras en las que se forman docentes de matemáticas. La construcción de Choquet sugiere estudiar en los primeros semestres de escolaridad por considerarse más intuitiva y por usar conceptos de la teoría de conjuntos y del álgebra, los cuales resultan más familiares a los estudiantes en esta etapa de su formación. La construcción de Bourbaki, o almenos un esbozo de su construcción, se recomienda en los cursos más avanzados de la carrera, por su alto grado de abstracción y generalidad, y por los requisitos conceptuales que requiere en la relación con las estructuras topológicas y uniformes, tales como filtros y filtros de CauchyPublicación Acceso abierto Los números reales, como objeto matemático : una perspectiva histórico epistemológica.(Universidad del Valle, 2020) Recalde Caicedo, Luis Cornelio; Gabriela Inés, Arbeláez RojasEste texto fue concebido y elaborado en el marco de un proyecto de investigación sobre La constitución histórica de los números reales en la perspectiva de la formación de docentes. El equipo responsable adoptó un enfoque interdisciplinario para tratar de dar respuesta a una demanda sentida de la comunidad de educación matemática en Colombia sobre cómo utilizar la historia, la epistemología y la filosofía de las matemáticas como herramientas para la construcción de pensamiento matemático en contextos escolares. Concretamente en casos de la enseñanza de objetos matemáticos como los números reales que, por la naturaleza compleja de su desarrollo y apropiación conceptual, exigen el diseño de nuevas perspectivas y posibilidades agenciadas desde diversas disciplinas. Se plantea entonces la cuestión general de las modalidades de apropiación y uso de la historia en la educación matemática. En el capítulo primero, Objetividad matemática, historia y educación matemática, se trata esencialmente de mostrar que al margen de las diferencias de objeto y método que puedan existir entre una y otra, la historia y la educación matemática comparten el interés por descifrar cuestiones cruciales de la actividad matemática como lo es la búsqueda de la objetividad matemática. Historia y educación matemática se enfrentan en sus indagaciones a la pregunta: ¿Cuál es la naturaleza de los actos de razonamiento que despliegan los sujetos cuando, enfrentados a la explicación de determinados problemas, participan de procesos de constitución de objetos matemáticos como los números reales?Publicación Acceso abierto Propiedades básicas de los números computables.(2011-10-13) Parra, Carlos Mario; Suárez, Johany A.Motivados por la Teoría Algorítmica de la Información, estudiamos el campo [C.sub.c] de los números complejos computables. Presentamos ejemplos no triviales de números reales tanto computables como no computables y proponemos una definición de función parcial computable definida en [C.sup.n.sub.c]. Desarrollamos la convergencia en el campo [R.sub.c] de los reales computables y mostramos que toda función analítica, cuya expansión en serie de potencias tenga coeficientes computables, es una función computable cunado se restringe a un disco cerrado de su dominio. Por último, probamos que [R.sub.c] es un campo real cerrado y que [C.sub.c] es un campo algebraicamente cerrado que contiene a los números algebraicos.Publicación Acceso abierto Ventajas y limitaciones de la representación intervalar : una aproximación a la propiedad de la densidad de los números reales en el grado once. Un estudio de caso en la Institución Educativa Instituto Técnico(Universidad del Valle, 2019) Escobar Chocó, Jenniffer; Fernández Muñoz, Maribel; García Moreno, AdrianaEn el presente trabajo se exhibe la elección e implementación de una propuesta de aula; con el fin de acercar a estudiantes de grado 11 de la Institución Instituto Técnico de Santander de Quilichao Cauca, a la propiedad de densidad de los números reales mediante la representación intervalar. Esta elección se apoya de una aproximación histórica y epistemológica relacionada con la construcción de los reales y sus propiedades, así como algunas de sus representaciones. Además de las orientaciones del Ministerio de Educación Nacional, expuestos en los Lineamientos Curriculares, Estándares Básicos de Competencias, Derechos Básicos de Aprendizaje y la Matriz de Referencia; en los que se introducen el concepto de número real. Posteriormente, se realizó un análisis de los resultados obtenidos después de la implementación de la propuesta de aula; fundamentado en los planteamientos metodológicos de la ingeniería didáctica; finalmente se determinaron algunas conclusiones y observaciones relacionadas a la enseñanza y aprendizaje de los números reales. Se espera que las conclusiones y observaciones de este trabajo; orienten otras investigaciones a la vez que generen una reflexión sobre la enseñanza de la propiedad de densidad del número real; a partir de una representación intervalar que no esté alejada de las construcciones formales.